О ленте Мёбиуса я уже писала, пришла очередь и бутылки Клейна. Что же это такое? Это - математическая неориентируемая поверхность, в которой неразличимы внутренняя и внешняя стороны. Бутылка Клейна впервые была описана в 1882 году немецким математиком Феликсом Клейном. Эта поверхность тесно связана с другой загадочной поверхностью - лентой Мебиуса. Исходное название бутылки Клейна - "Klein Fläche" (поверхность Клейна). Однако, в названии слово Fläche было интерпретировано как Fla-s-che (бутылка), и из-за доминирования английского языка утвердилось в математической науке, и позднее термин "бутылка Клейна" также вошел в обиход и в Германии.

Как же она выглядит? Представим себе бутылку с отверстием в дне. Теперь мысленно удлиним горлышко бутылки, изогнем его в обратном направлении и направим внутрь бутылки сквозь стенку, не касаясь ее (это невозможно произвести в трехмерном пространстве), далее удлиним горлышко до дна бутылки и соединим края горлышка с краями отверстия в дне бутылки. Настоящая бутылка Кляйна в четырехмерном пространстве не пересекается сама с собой. Обязательно смотрим видео!!!

В отличие от реальных бутылок, поверхность Клейна не имеет границы, где бы она прерывалась. В отличие от шара или тора, муха, ползущая по поверхности бутылки Клейна, может попасть с внешней стороны на внутреннюю, не проходя сквозь поверхность.

Свойства.
Если рассечь бутылку Клейна на две половинки вдоль плоскости симметрии, то получатся две зеркальных ленты Мебиуса, одна - с разворотом вполоборота вправо, другая - с разворотом вполоборота влево. Фактически, возможно рассечь бутылку Клейна так, что получится одна лента Мебиуса. Иначе, бутылка Клейна может быть представлена в виде двух лент Мебиуса, соединенных друг с другом обычной двухсторонней лентой. На рисунке ниже внутренняя поверхность этой ленты окрашена белым цветом, а внешняя - голубым.

Бутылка Клейна может быть создана из одного цилиндра. Один из краев цилиндра загибается в обратную сторону, проходит сквозь цилиндр и склеивается с другим краем. Чтобы совершить это склеивание, необходимо исказить ширину цилиндра. На рисунке ниже показано это преобразование. Для наглядности внешняя сторона цилиндра окрашена в белый цвет, а внутренняя - в зеленый.

Ну а теперь очень рекомендую посмотреть анимационный фильм о Бутылке Клейна, созданный в 2010 г. при Свободном Университете г. Берлин, вы ещё раз познакомитесь с историей создания, и даже сможете проехать по Бутылке. Приятного путешествия!!!